Phông chữ bạn ơi

cái moéo j đây

Trả lời :

Cái này vẫn đọc đc. Mấy bn đừng bình luận linh tinh nhé !

- Hok tốt !

^_^

a) +) Dễ thấy: ^BAD = ^CAO (Cùng phụ ^ABC). Mà ^BAI = ^CAI nên ^OAI = ^DAI 

Suy ra: ^OAI = ^DAO/2 = ^BAI - ^BAD = ^BAC/2 - 90⁰ + ^ABC = ^BAC/2 - (^BAC+^ABC+^ACB)/2 + ^ABC

= (^ABC + ^ACB)/2 = \(\frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{2\left(\alpha+\beta\right)}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{sđ\widebat{BAC}}\) (đpcm).

+) Kẻ đường kính AG của đường tròn (O). Dễ thấy: Tứ giác BICJ nội tiếp, gọi (BICJ) cắt AC tại R khác C.

Do AK=2R nên AK = AG. Ta có: ^ARB = ^ARI + ^BRI = ^IBC + ^ICB = (^ABC+^ACB)/2 = ^ABI + ^IBC = ^ABR

=> \(\Delta\)BAR cân tại A => AB = AR. Kết hợp với AK=AG, ^BAG = ^RAK (cmt) => \(\Delta\)ABG = \(\Delta\)ARK (c.g.c)

=> ^ABG = ^ARK = 90⁰ => ^KRC = ^KDC = 90⁰ => Tứ giác DKCR nội tiếp 

=> AD.AK = AR.AC = AI.AJ => Tứ giác DIJK nội tiếp (đpcm).

b) \(\Delta\)KAG cân tại A có phân giác AI => AI vuông góc KG hay AM vuông góc KG. Mà AM vuông góc GM

Nên K,G,M thẳng hàng => K,M,G,N thẳng hàng => AM vuông góc KN tại M

Ta thấy: M là trung điểm IJ, KM vuông góc IJ tại M nên \(\Delta\)KIJ cân tại K

Xét đường tròn (KIJ): KI = KJ, KN vuông góc IJ => KN là đường kính của (KIJ)

Mà D thuộc đường tròn (KIJ) (cmt) => ^KDN = 90⁰ => ND vuông góc AK tại D => N,L,D thẳng hàng

Xét \(\Delta\)AKN có: AM vuông góc KN, ND vuông góc AK, AM và ND cùng đi qua L

=> L là trực tâm \(\Delta\)AKN => KL vuông góc AN (đpcm).

c) Gọi P là trực tâm của \(\Delta\)AJQ

Do \(\Delta\)KIJ cân tại K => ^KIJ = ^KJI. Có tứ giác DIJK nội tiếp => ^KIJ = ^KDJ => ^KDJ = ^KJI

Từ đó: \(\Delta\)DKJ ~ \(\Delta\)JKA (g.g) => KJ² = KD.KA => KQ² = KD.KA => \(\Delta\)KQD ~ \(\Delta\)KAQ (c.g.c)

Suy ra: ^QDJ = ^KDQ + ^KDJ = ^AQK + ^AJK = 180⁰ - ^QAJ = 180⁰ - ^QPJ => Tứ giác PQDJ nội tiếp

^PDJ = ^PQJ => ^PDK + ^KDJ = ^PDK + ^QJA = ^PQJ => ^PDK = ^PQJ - ^QJA = 90⁰

=> PD vuông góc AD. Mà BC vuông góc AD tại D nên PD trùng BC hay P nằm trên BC (đpcm).

d) Ta thấy: ^ABC > ^ACB (\(\alpha>\beta\)) => ^BAD < ^CAD. Lại có: ^BAI = ^CAI, ^BAD + ^CAD = ^BAI + ^CAI = ^BAC

Suy ra ^BAD < ^BAI => B và I nằm khác khía so với AD => D thuộc [BF]

Hạ IS, IT vuông góc với AC,AB thì F thuộc [DT] => Thứ tự các điểm trên BC là B,D,F,T,C. Do đó: ^IFC = ^DFK < 90⁰

Ta xét thứ tự các điểm trên cạnh AC: 

+) A,S,E,C: Vì IS vuông góc AC, theo thứ tự này thì ^IEC > 90⁰. Cũng dễ có: \(\Delta\)IES = \(\Delta\)IFT (Ch.cgv)

=> ^IES = ^IFT < 90⁰  => ^IFT + ^IEC = 180⁰ => Tứ giác FIEC nội tiếp => ^ECF = ^DIK

Mà ^DIK = ^DJK = ^DAI = \(\frac{\alpha-\beta}{2}\) nên \(\beta=\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha=3\beta\) (*)

+) A,E,S,C: Trong TH này thì ^IEC < 90⁰ => ^IFT + ^IEC < 180⁰ => ^ECF + ^EIF > 180⁰

=> ^ECF > ^DIK hay \(\beta>\frac{\alpha-\beta}{2}\Rightarrow\alpha< 3\beta\)   (**)

Từ (*) và (**) suy ra: \(\alpha\le3\beta\) (đpcm).

Em không vẽ được hình, xin thông cảm

a, Ta có góc EAN=  cungEN=cung EC+ cung EN

Mà cung EC= cung EB(E là điểm chính giữa cung BC)

=> góc EAN=cungEB+ cung EN=góc DFE (tính chất góc ở giữa)

=> tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

Vậy tam giác AEN đồng dạng tam giác FED

b,Ta có EC=EB=EM

Tam giác EMC cân tại E => EMC=ECM

 MÀ EMC+AME=180, ECM+ABE=180

=> AME = ABE

=> tam giác ABE= tam giác AME

=> AB=AM => tam giác ABM cân tại A

Mà AE là phân giác => AE vuông góc BM

CMTT => AC vuông góc EN

MÀ AC giao BM tại M

=> M là trực tâm tam giác AEN

Vậy M là trực tâm tam giác AEN

c,  Gọi H là giao điểm OE với đường tròn (O) (H khác E) => O là trung điểm của EH

Vì M là trực tâm của tam giác AEN

=> \(EN\perp AN\)

Mà \(OI\perp AN\)(vì I là trung điểm của AC)

=> \(EN//OI\)

MÀ O là trung điểm của EH

=> I là trung điểm của MH (đường trung bình trong tam giác )

=> tứ giác AMNH là hình bình hành 

=> AH=MN

Mà MN=NC

=> AH=NC

=> cung AH= cung NC

=> cung AH + cung KC= cung KN

Mà cung AH+ cung KC = góc KMC(tính chất góc ở giữa 2 cung )

NBK là góc nội tiếp chắn cung KN

=> gócKMC=gócKBN

Hay gócKMC=gócKBM

=> CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác MBK( ĐPCM)

Vậy CM là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMK

Anh Khang nè,e cung cấp hình nha:3

Cảm ơn bạn